【導(dǎo)語】

610-單考數(shù)學(xué)考試大綱

一、一元微積分學(xué)

1、函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立。

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系，無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個重要極限。

函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

考試要求

（1）理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系；

（2）了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性；

（3）理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念；

（4）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念；

（5）理解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念，以及函數(shù)極限存在與左右極限之間的關(guān)系；

（6）了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個準(zhǔn)則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法；

（7）理解無窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系；

（8）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)和右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型；

（9）了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

2、一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線的切線與法線，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)，微分形式不變性，微分中值定理，洛必達法則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，函數(shù)的最大值與最小值。

考試要求

（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數(shù)的可導(dǎo)性和連續(xù)性之間的關(guān)系；

（2）掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；

（3）了解微分的概念、導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系以及一階微分形式不變性，會求函數(shù)的微分；

（4）理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理，掌握這三個定理的應(yīng)用、了解并會用泰勒定理；

（5）掌握用洛必達法則求未定式極限的方法；

（6）掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應(yīng)用；

（7）會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點和漸近線（含水平、鉛直和斜漸近線）；

（8）會描繪函數(shù)的圖形。

3、一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，基本積分公式，定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，反常（廣義）積分，定積分的應(yīng)用。

考試要求

（1）理解原函數(shù)、不定積分和定積分的概念，掌握不定積分基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及其換元積分法和分部積分法；

（2）掌握定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式；

（3）了解廣義積分的概念，會計算廣義積分；

（4）會利用定積分計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積。

二、多元函數(shù)微積分學(xué)

1、多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法，二階偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)和梯度，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，多元函數(shù)的極值和條件極值，多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用。

考試要求

（1）理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義；

（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

（3）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式不變性；

（4）理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法；

（5）掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；

（6）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程；

（7）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。

2、多元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計算和應(yīng)用，兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算，兩類曲線積分的關(guān)系，格林公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算，兩類曲面積分的關(guān)系，高斯公式，曲線積分和曲面積分的應(yīng)用。

考試要求

（1）理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理；

（2）掌握二重積分的計算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，會計算三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))；

（3）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系；

（4）掌握計算兩類曲線積分的方法；

（5）掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件；

（6）了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，會用高斯公式計算曲面積分；

（7）會用重積分、曲線積分及曲面積分求平面圖形的面積、立體體積、曲面面積、弧長。

三、無窮級數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項級數(shù)的收斂性與發(fā)散性的概念，收斂級數(shù)的和的概念，級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級數(shù)和P—級數(shù)及其收斂性，正項級數(shù)收斂性的判別法，交錯級數(shù)與萊布尼茨定理，任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域，冪級數(shù)的和函數(shù)，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。

考試要求

（1）理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；

（2）掌握幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件；

（3）掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法；

（4）掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；

（5）了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與收斂的關(guān)系；

（6）了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；

（7）理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；

（8）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和.

（9）了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件；

（10）掌握的麥克勞林展開式，會用他們將一些簡單函數(shù)簡接展開為冪級數(shù)。

四、常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，全微分方程，可用簡單的變量代換求解某些微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程，簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，微分方程的簡單應(yīng)用。

考試要求

（1）了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念；

（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法；

（3）會解齊次微分方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程；

（4）會用降階法解下列形式的微分方程：

（5）理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)；

（6）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程，會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；

（7）會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。